# Determinación de Distancias Astronómicas

El método más común para medir distancias grandes a puntos inaccesibles, es la triangulación. En la figura de abajo está esquematizado, como ejemplo, la manera de medir la distancia a un árbol localizado al otro lado de un río, sin atravesarlo:

Tomando el árbol como uno de los vértices, construímos los triángulos semejantes ABC y DEC. BC es la base del triángulo grande, AB y AC son los lados, que son las direcciones al objeto (el árbol) vistas desde cada extremo de la base. Luego

Como puedo medir BC, DE y EC, puedo calcular el lado AB y entonces conocer la distancia al árbol.

Vemos que la dirección al árbol, vista desde B, es diferente de la dirección al árbol vista desde C. Ese corrimiento aparente en la dirección del objeto observado, debido al cambio de posición del observador, se llama paralaje. Los astrónomos, sin embargo, miden el doble de ese corrimiento, como está ilustrado en la figura de abajo.

La figura de abajo ilustra el mismo problema en términos de los ángulos involucrados.

Suponga que el punto O sea el objeto cuya distancia se quiere medir (el árbol de la figura anterior). D es la base del triángulo, y y son los ángulos entre la dirección al objeto visto desde cada extremidad de la línea base y la dirección a un objeto mucho más distante, tomado como referencia (puede ser una montaña en el horizonte, en el ejemplo anterior).

Por trigonometría, sabemos que

Como p es conocido (), y D también es conocido, podemos medir la distancia d. Para ángulos pequeños, la tangente del ángulo es aproximadamente igual al propio ángulo medido en radianes. Si .

Entonces:

Como p se mide en radianes, d tendrá la misma unidad que D.

Transformación de grados en radianes

En radianes, un ángulo es medido por el arco que él encierra, dividido por el radio. En la figura de abajo, el arco de circunferencia a corresponde al ángulo . Luego el valor de en radianes es

Paralaje geocéntrica y heliocéntrica

El mismo método de triangulación explicado arriba es usado para medir las distancias de objetos astronómicos. Pero como esos objetos están muy distantes, es necesario escoger una base muy grande. Para medir la distancia a la Luna o a los planetas más próximos, por ejemplo, puede usarse el diámetro de la Tierra como base. Para medir la distancia a estrellas próximas, se usa el diámetro de la órbita de la Tierra como base.

Paralaje geocéntrica

Actualmente la determinación de distancias a los planetas es realizada por radar, y no por triangulación, pero antes de la invención del radar los astrónomos medían las distancias a la Luna y a algunos planetas usando el diámetro de la Tierra como base. La figura de abajo ilustra el problema de la determinación de la distancia a la Luna.

La posición de la Luna en relación a las estrellas distantes se mide dos veces, separadas por un intervalo de tiempo de 12 hr . En ese tiempo la Tierra completó media rotación, y la paralaje corresponde a la mitad de la variación total en la dirección observada de los dos lados opuestos de la Tierra. Esa paralaje es llamada paralaje geocéntrica, y es expresada por:

Paralaje heliocéntrica

La paralaje heliocéntrica es usada para medir la distancia a las estrellas más próximas. A medida que la Tierra gira en torno al Sol, podemos medir la dirección de una estrella en relación a las estrellas de fondo cuando la Tierra está de un lado del Sol, y volvemos a realizar la medida seis meses más tarde, cuando la Tierra está del otro lado del Sol. La mitad del corrimiento total en la posición de la estrella corresponde a la paralaje heliocéntrica, que se expresa por:

La unidad astronómica

La técnica más exacta para determinar el valor de la unidad astronómica es por radar. Sin embargo, la determinación no puede ser realizada directamente, pues si una señal de radio fuese emitida directamente al Sol, su eco se perdería en el medio de todas las señales de radio que el Sol emite. Por lo tanto se usa una medida indirecta. Por ejemplo:

Suponga que una señal de radar es enviada a Marte, cuando este planeta está en oposición, encontrádose que su distancia a la Tierra es de 78 389 294 Km. La distancia media de Marte al Sol es determinada por la tercera ley de Kepler hallándose que es de 1,52 UA. La distancia entre la Tierra y Marte, para Marte en oposición, es por lo tanto 0,52 UA. Entonces

La distancia de cualquier objeto, con una paralaje helicéntrica p, calculada en unidades astronómicas, está dada por:

El año-luz

El año-luz (AL) es la distancia recorrida por la luz en un año. Esa distancia equivale a:

Determinación de la velocidad de la luz

La determinación de la velocidad de la luz fue realizada por primera vez en 1675, por el astrónomo danés Olaus Roemer (1644 - 1710), midiendo el intervalo entre sucesivos eclipses de la luna Io, de Júpiter, para diferentes puntos de la órbita de la Tierra.

El intervalo de tiempo entre los sucesivos eclipses es el período de revolución del satélite, que puede ser calculado por la 3a. Ley de Kepler. Roemer verificó que los eclipses se veían atrasados cuando Júpiter estaba más distante a la Tierra, y adelantados cuando Júpiter estaba más próximo a la Tierra. El atraso total cuando la Terra iba de a era de 1000 segundos. Roemer atribuyó el efecto al tiempo que la luz utilizaba para ir de un punto de la órbita de la Tierra a otro, esto es, el tiempo que la luz demoraba en atravesar la diferencia de la distancia entre el satélite y la Tierra.

Para que quede más claro, vamos considerar que es la hora en que ocurre el eclipse cuando la Tierra está en la posición . Como la luz tiene velocidad finita, el eclipse sólo será visto en la Tierra en un momento posterior, dado por:

donde c es la velocidad de la luz, y es la distancia entre la Tierra y Júpiter en la posición .

Luego de un tiempo , la Tierra estará en la posición , y vamos a llamar a la hora prevista para que se produzca el eclipse. Pero en la Tierra, el eclipse sólo será observado a una hora:

Luego, el intervalo de tiempo observado entre los eclipses, , es mayor que el intervalo de tiempo real entre los eclipses, . La diferencia va a ser:

Se esta diferencia es de 1000 s, entonces:

Como la mejor estimación para el eje mayor de la órbita de la Tierra era de 241 500 000 Km, Roemer dedujo que la velocidad de la luz era

La distancia de la Tierra al Sol fue medida en 1673, midiéndose la paralaje de Marte en oposición, y sabiendo que la distancia a Marte es de 1,52 UA, como fue deducido por Copérnico. La paralaje de Marte fue determinada con medidas en Paris y simultáneamente en la Guyana Francesa. Hoy sabemos que el eje mayor de la órbita de la Tierra es de 299 195 786 Km, entonces la velocidad de la luz es:

Si un avión pudiese viajar a la velocidad de la luz, daría 7 vueltas completas en torno al Ecuador de la Tierra en 1 segundo.

El Parsec

1 Parsec es la distancia de un objeto tal que, un observador en ese objeto vería el radio de la órbita de la Tierra con un tamaño angular de , o en otras palabras, es la distancia de un objeto que presenta una paralaje heliocéntrica de .

La distancia de un parsec, en unidades astronámicas, corresponde a

Pero un ángulo de , expresado en radianes, vale

Luego:

La distancia de un objeto, expresada en parsecs, está dada por:

Un parsec, portanto, es igual a 206 265 UA, o 3,26 AL.

Resumiendo las tres unidades, para una estrella con paralaje heliocéntrica cualquiera, su distancia será:

La estrella más próxima a la Tierra, Próxima Centauri, está a una distancia de 4,3 AL, que es mayor que 1 pc. Luego, incluso para la estrella más próxima, la paralaje es menor que 1 (en realidad es 0,76).

Hasta hace pocos años, con los telescopios disponibles en la Tierra, la mayor distancia a estrellas que se podía medir con un error menor que un 10% era 20 pc, que corresponde a paralajes . El uso de CCD y telescopios dedicados bajó la incertidumbre de las observaciones en la Tierra hasta 1 mili-segundo de arco, similar a la incertidumbre de las medidas del satélite HIPPARCOS (High-Precision Parallax Collecting Satellite), construido para medir con alta precisión la posición y la paralaje de 120 000 estrellas. Este satélite fue lanzado en Agosto de 1989 y operó con éxito por 3 años, a pesar de no haber alcanzado la órbita geoestacionaria pretendida. Es importante notar que 1 mili-segundo de arco es equivalente al tamaño angular de una persona en la superficie de la Luna vista desde la Tierra. Para alcanzar esta precisión, fue necesario corregir por el efecto de la desviación de la luz por el Sol previsto por la relatividad general, que es 1,7 segundos de arco en el borde del Sol, y 4 mili-segundos de arco a 90° del Sol.

Pregunta:

La paralaje de Sirio es . Determine la distancia de Sirio en parsecs, en UA y en AL.

Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

fatima@if.ufrgs.br
Modificada el 12 de Noviembre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy