# Problema de los dos cuerpos

# Leyes de Kepler Generalizadas

La ley de la gravitación universal deducida por Newton, que relaciona la fuerza entre dos masas M y m separadas por , está dada por:

## Ecuación de movimiento:

De esta ley se pueden deducir las leyes de Kepler. Aplicando la ley de la gravitación y la segunda ley del movimiento (), tenemos:

y por la ley de acción y reacción,

de donde

y y son los vectores posición de m y M con relación a un sistema inercial.

Estas ecuaciones pueden ser escritas como:

Sustrayendo estas dos ecuaciones:

Definiendo , podemos escribir:

Esta es la ecuación diferencial vectorial del movimiento relativo de los cuerpos de masas m y M. La solución de esta ecuación nos da la órbita relativa de los cuerpos (planeta, cometa, satélite). En principio la solución nos muestra cómo varía el radio vector con el tiempo, pero no podemos escribir una solución utilizando funciones familiares directamente. Como esta es una ecuación diferencial vectorial de segundo orden, esto es, involucra derivadas segundas de vectores, necesitamos 6 constantes para obtener la solución. Por ejemplo, si conociéramos la posición tridimensional y la velocidad de un planeta en un instante dado, podremos calcular su posición y velocidad en cualquier otro instante.

Nuestra solución, más general, involucra demostrar cantidades físicas, como la conservación de la energía y del momento angular.

Próxima: Conservación de la Energía Total del Sistema

Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

Modificada el 27 de Octubre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy