# Determinación de la órbita de Marte - Método de Kepler

La tabla de la última hoja presenta las longitudes heliocéntricas y , de la Tierra y de Marte respectivamente, y la elongación de Marte, para 24 fechas.

La figura de arriba permite la visualización de , , y de . Cuando es , los planetas están en oposición, y sus longitudes son iguales. La tabla da los datos para 12 oposiciones desde 1956 hasta 1980. En 1609, a partir de observaciones similares, también sobre un período de 24 años, Kepler formuló sus tres leyes que gobiernan el movimiento orbital de Marte (y demás cuerpos celestes), a través del método gráfico resumido abajo.

Primera Ley. El problema consiste en trazar la órbita de Marte a partir de varias posiciones, mostradas en la tabla. En un cálculo preliminar, Kepler encontró que la Tierra tenía una órbita casi circular con excentricidad e = 0.017, y longitud en el perihelio de .

1. Trace esta órbita, usando un círculo de radio r. Coloque la posición del Sol a una distancia del centro del círculo en la direción del perihelio.

2. Ahora grafique las posiciones de Marte, como sigue: Trace la dirección (vamos llamar a esa dirección), que es común para la Tierra y Marte en la oposición 1. Note que en este punto sólo sabemos la direción en la que está Marte, pero no sabemos en qué posición a lo largo de esta dirección está. Mientras tanto, luego de 1 período sidéreo, P, en Julio de 1958, Marte retornó a la misma longitud. Su posición ahora puede ser encontrada graficando la posición de la Tierra en el diagrama, trazando la línea (vamos llamarla ), en la dirección dada por el ángulo . El punto en el que esa línea corta a la línea es la posición de Marte.

De la misma forma, las posiciones ,,..., de Marte en su órbita pueden ser encontradas para las longitudes correspondientes a las 12 oposiciones listadas en la tabla.

3. Ajuste un círculo al polígono resultante. El centro del círculo no coincidirá con la posición del Sol, de forma que la órbita debe ser elíptica.

4. Determine el valor del semi-eje mayor en unidades astronómicas, la excentricidad orbital, e, y la longitud del perihelio.

Tercera Ley. 5. El período sinódico, S, puede ser encontrado a partir del intervalo medio entre oposiciones sucesivas. Calcule este valor para cada par de oposiciones listadas en la tabla. Ejemplo: = 36523-35726=797 días. Es preciso calcular el valor medio.

6. Calcule el período sidéreo de Marte, P, en días y en años. El período sidéreo es el intervalo de tiempo entre longitudes iguales sucesivas. Ejemplo: = 687 días. Más fácil todavía es utilizar el período sinódico medio calculado en el punto anterior y la relación entre el período sinódico y el período sidéreo. Muestre que la razón es la misma para la Terra y para Marte.

Segunda Ley. Kepler observó que el movimiento longitudinal de Marte era irregular. Entre dos oposiciones sucesivas, separadas por un intervalo , la longitud crece . La velocidad angular resultante, , no era constante. Ejemplo: entre lra 1a. y 2da. oposición, = 797 - 687 = 110 días, , y por lo tanto

7. Grafique la variación de como una función de la longitud . Use la longitud media en el intervalo. Qué direcciones corresponden a los valores de máximo y mínimo? Para estas dos direcciones, muestre que el área barrida por la línea que une Marte y el Sol en una unidad de tiempo es siempre la misma, recordando que la velocidad por área está dada por:
.

## Tabla de Posiciones

Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

fatima@if.ufrgs.br
Modificada el 25 de Noviembre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy