y por la ley de acción y reacción,
de donde
y
y
son los vectores posición de m y M con relación a un sistema
inercial.
Estas ecuaciones pueden ser escritas como:
Sustrayendo estas dos ecuaciones:
Definiendo ,
podemos escribir:
Esta es la ecuación diferencial vectorial del movimiento relativo de los cuerpos de masas m y M. La solución de esta ecuación nos da la órbita relativa de los cuerpos (planeta, cometa, satélite). En principio la solución nos muestra cómo varía el radio vector con el tiempo, pero no podemos escribir una solución utilizando funciones familiares directamente. Como esta es una ecuación diferencial vectorial de segundo orden, esto es, involucra derivadas segundas de vectores, necesitamos 6 constantes para obtener la solución. Por ejemplo, si conociéramos la posición tridimensional y la velocidad de un planeta en un instante dado, podremos calcular su posición y velocidad en cualquier otro instante.
Nuestra solución, más general, involucra demostrar cantidades
físicas, como la conservación de la energía y del
momento angular.
Introducción
a la Astronomía y la Astrofísica