## Tercera ley de Kepler:

Dos relaciones de las elipses son (vea el apéndice):
donde A es el área, a el semi-eje mayor y b el semieje menor, y
De la ley de las áreas, (5), tenemos:
Integrando sobre un período, P,
Sustituyendo b de arriba, y de la definición del semi-lactus rectum,
Elevando (6) al cuadrado:
o sea
Esta es la tercera ley de Kepler, generalizada por Newton,
De esta forma queda demostrado que las tres leyes de Kepler pueden ser deducidas de las leyes de Newton.

La ``constante'' de Kepler depende por lo tanto de la suma de las masas de los cuerpos. En el caso de los planetas del sistema solar, que orbitan al Sol, esta suma es prácticamente igual a la masa del Sol, y por tanto aproximadamente constante.

Podemos calcular el valor de las constantes, calculando el valor del momento angular y de la energía en el perihelio, ya que son constantes. En el perihelio:

ya que y son perpendiculares entre si. Para la energía (2), tenemos:

Por otro lado, de la definición del semi-lactus rectum, tenemos . Sustituyendo h y en E, tenemos:

pues ,

que es válido para cualquier órbita cónica y muestra que el semi-eje mayor de la órbita sólo depende de la energía del sistema.

De la definición de semi-lactus rectum p,

Como la energía es definida por (8),

Escribiendo la excentricidad en términos de la energía:

Luego, si:

De las ecuaciones (2) y (8), vemos que

luego
que es la ecuación de la velocidad del sistema.

De la ecuación de la velocidad se puede deducir fácilmente la velocidad de escape del sistema, que representa la velocidad mínima para que el cuerpo escape de la atracción gravitacional del sistema. Esta velocidad es por definición aquella con la cual el cuerpo llega con velocidad zero al infinito (v=0 en ), lo que representa una órbita parabólica, ya que E=0. En este caso,

ya que de la definición de velocidad y de órbita circular ():

Para una órbita circular, vemos que la energía total es negativa, ya que:

Para una órbita hiperbólica, la energía total es positiva; la energía cinética es tan grande que la partícula puede escapar del sistema y alejarse de él. La parábola es el caso límite entre la órbita cerrada (elipse) y la hipérbola. Halley, usando el método de Newton, encontró que varios cometas tienen órbita parabólica.

Asumimos hasta aquí que la órbita es un problema de dos cuerpos. En realidad, los planetas interfieren entre sí, perturbando la órbita de los otros. Incluso así, sus órbitas no se desvían mucho de las cónicas, sólo que los elementos de la órbita varían con el tiempo y precisan ser calculados por aproximaciones sucesivas, pues la órbita no puede ser resuelta analíticamente. Más allá de esto, incluso para dos cuerpos macroscópicos, como la Tierra y la Luna, la solución de dos cuerpos no es exacta, pues ni la Tierra ni la Luna son esferas perfectas, y por lo tanto no se comportan como masas puntuales. Más aún, debido a las mareas, la Tierra y la Luna no son ni siquiera rígidas.

## Ejemplos:

1) El Cometa Austin (1982g) se mueve en una órbita parabólica. Cuál fue su velocidad el 8 de Octubre de 1982, cuando estaba a 1,1 UA del Sol?

Como la órbita es parabólica, E=0, luego:

2) el semi-eje del planetoide 1982RA es de 1,568UA y su distancia al Sol el 8 de Octubre de 1982 era de 1,17 UA. Cuál era su velocidad?

Próxima: Apéndice: Propiedades de una elipse
Vuelta a: Problema de dos cuerpos
Anterior: Segunda ley de Kepler

Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

Modificada el 27 de Octubre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy