Ecuación de la trayectoria:

Multiplicando vectorialmente la ecuación (1) por tex2html_wrap_inline270:

displaymath278

teniendo en cuenta que: tex2html_wrap_inline280 El término de la derecha de (4) puede ser escrito como:
displaymath282
Como
displaymath284
entonces:
displaymath286
Como
displaymath288
entonces:
displaymath290
El término izquierdo de la ecuación (4) puede ser escrito como:
displaymath292
ya que:
displaymath294
y como tex2html_wrap_inline270 es constante, tex2html_wrap_inline298. La ecuación (4) puede por tanto ser escrita como:
displaymath300
o sea, integrando sobre t:
displaymath302
donde tex2html_wrap_inline304 es un vector constante.

Como tex2html_wrap_inline45 es perpendicular al plano de la órbita, tex2html_wrap_inline49 está en el plano de la órbita, junto con tex2html_wrap_inline51, de modo que tex2html_wrap_inline53 también. En realidad, tex2html_wrap_inline53 está en la dirección del pericentro, como veremos a continuación.

Hasta ahora encontramos 2 vectores constantes, tex2html_wrap_inline45tex2html_wrap_inline53, y un escalar constante, E, de modo que ya tenemos 7 integrales. Sin embargo, no son todas independientes. Por ejemplo, como tex2html_wrap_inline53 está en el plano de la órbita, y tex2html_wrap_inline45 en un plano perpendicular a éste, tex2html_wrap_inline67

Multiplicando escalarmente por tex2html_wrap_inline202, tenemos:

displaymath308
Como
displaymath310

displaymath312
donde tex2html_wrap_inline314 es el ángulo entre tex2html_wrap_inline202tex2html_wrap_inline304, y tex2html_wrap_inline320, tenemos:
displaymath322
o sea
displaymath324
y finalmente:
displaymath326

que es la ecuación de la trayectoria. Esta es la ecuación de una cónica con foco en el origen. Solamente para tex2html_wrap_inline328 el movimiento es finito, y la órbita es una elipse.

Note que r es mínimo cuando tex2html_wrap_inline71, esto es, en la dirección de tex2html_wrap_inline53, probando que tex2html_wrap_inline53 apunta en la dirección del pericentro.

Recordando que tex2html_wrap_inline224, y comparando con la ecuación de la elipse (vea el apéndice),
displaymath332

vemos que la ecuación de la trayectoria describe una elipse con:

displaymath334
y
displaymath336

p es llamado semi-lactus rectum, e es la excentricidad de la elipse, y tex2html_wrap_inline342 es el ángulo entre el punto de la elipse más próximo al foco (pericentro) y el vector posición tex2html_wrap_inline202.

De la ecuación que introdujo tex2html_wrap_inline53 tenemos:
displaymath79

displaymath81

Como tex2html_wrap_inline83 es perpendicular a tex2html_wrap_inline45,

displaymath87

de modo que:

displaymath89
Pero

displaymath91

y como tex2html_wrap_inline93,
displaymath95
Como tex2html_wrap_inline97tex2html_wrap_inline99, luego:
displaymath101
o sea:
displaymath103

De esta forma queda probado que la excentricidad depende de la energía del sistema.

Esta es la demostración de que la órbita, cuando es cerrada, es elíptica, como dice la primera ley de Kepler.

Si tex2html_wrap_inline346, el movimiento es infinito, esto es, no se repite. Si e=1 el cuerpo se mueve en una parábola, y si e > 1 en una hipérbola, que no es el caso de los planetas, pero a veces de los cometas y asteroides.
 


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Volta Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

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Modificada el 27 de Octubre 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy