## Ecuación de la trayectoria:

Multiplicando vectorialmente la ecuación (1) por :

teniendo en cuenta que: El término de la derecha de (4) puede ser escrito como:
Como
entonces:
Como
entonces:
El término izquierdo de la ecuación (4) puede ser escrito como:
ya que:
y como es constante, . La ecuación (4) puede por tanto ser escrita como:
o sea, integrando sobre t:
donde es un vector constante.

Como es perpendicular al plano de la órbita, está en el plano de la órbita, junto con , de modo que también. En realidad, está en la dirección del pericentro, como veremos a continuación.

Hasta ahora encontramos 2 vectores constantes, y , y un escalar constante, E, de modo que ya tenemos 7 integrales. Sin embargo, no son todas independientes. Por ejemplo, como está en el plano de la órbita, y en un plano perpendicular a éste,

Multiplicando escalarmente por , tenemos:

Como

donde es el ángulo entre y , y , tenemos:
o sea
y finalmente:

que es la ecuación de la trayectoria. Esta es la ecuación de una cónica con foco en el origen. Solamente para el movimiento es finito, y la órbita es una elipse.

Note que r es mínimo cuando , esto es, en la dirección de , probando que apunta en la dirección del pericentro.

Recordando que , y comparando con la ecuación de la elipse (vea el apéndice),

vemos que la ecuación de la trayectoria describe una elipse con:

y

p es llamado semi-lactus rectum, e es la excentricidad de la elipse, y es el ángulo entre el punto de la elipse más próximo al foco (pericentro) y el vector posición .

De la ecuación que introdujo tenemos:

Como es perpendicular a ,

de modo que:

Pero

y como ,
Como , , luego:
o sea:

De esta forma queda probado que la excentricidad depende de la energía del sistema.

Esta es la demostración de que la órbita, cuando es cerrada, es elíptica, como dice la primera ley de Kepler.

Si , el movimiento es infinito, esto es, no se repite. Si e=1 el cuerpo se mueve en una parábola, y si e > 1 en una hipérbola, que no es el caso de los planetas, pero a veces de los cometas y asteroides.

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Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

Modificada el 27 de Octubre 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy