Trigonometría Esférica

La Astronomía Esférica, o Astronomía de posición, se refiere fundamentalmente a las direcciones en las cuales los astros son vistos, sin tener en cuenta sus distancias. Es conveniente expresar esas direcciones en términos de las posiciones sobre la superfície de una esfera, la Esfera Celeste. Esas posiciones son medidas únicamente en ángulos. De esa forma, el radio de la esfera, que es totalmente arbitrario, no entra en las ecuaciones.

Definiciones básicas:

Si un plano pasa por el centro de una esfera, la dividirá en dos hemisferios idénticos, a lo largo de un círculo máximo. Cualquier plano que corta la esfera sin pasar por su centro la intercepta en un círculo menor.

Cuando dos círculos máximos se interceptan en un punto, forman entre si un ángulo esférico. La medida de un ángulo esférico es igual a la medida del ángulo plano entre las tangentes de los dos arcos que lo forman.

Un ángulo esférico también es medido por el arco esférico correspondiente, que es el arco de un círculo máximo contenido entre los dos lados del ángulo esférico y distantes 90° de su vértice. La medida de un arco esférico, a su vez, es igual al ángulo que subtiende desde el centro de la circunferencia.

Triángulos esféricos:

Un triángulo esférico no es cualquier figura de tres lados sobre la esfera; sus lados deben ser arcos de círculos máximos, o sea, arcos esféricos. Denotamos a los ángulos de un triángulo esférico por letras mayúsculas (A,B,C), y a sus lados por letras minúsculas (a,b,c).

Propiedades de los triángulos esféricos

1) La suma de los ángulos de un triángulo esférico es siempre mayor que 180°, y menor que 270°, y no es constante, dependiendo del triángulo. De hecho, el valor de la suma de los ángulos por encima de 180° es directamente proporcional al área del triángulo.

2) La suma de los lados de un triángulo esférico es mayor que cero y menor que 180°.

3) Los lados mayores están opuestos a los ángulos mayores del triángulo.

4) La suma de dos lados del triángulo es siempre mayor que el tercer lado, y la diferencia es siempre menor.

5) Cada uno de los lados del triángulo es menor que 180°, y esto se aplica tambien a los ángulos.

Solución de triángulos esféricos:

Al contrario de la trigonometría plana, no es suficiente con conocer dos ángulos para resolver el triángulo. Es siempre necesario conocer como mínimo tres elementos: o tres ángulos, o tres lados, o dos lados y un ángulo, o un lado y dos ángulos.

Las fórmulas principales para la solución de los triángulos esféricos son:

fórmula de los cosenos:

cosa = cosb cosc + senb senc cosA

y la

fórmula de los senos:

| sena senA | = | senb senB | = | senc senC | ,

Triángulo de Posición:

Se denomina triángulo de posición al triángulo situado en la esfera celeste cuyos vértices son el polo celeste alzado, el astro y el Zenit.

Los lados y ángulos del triángulo de posición son:

- arco entre el Zenit y el polo = 90 -
- arco entre el Zenit y el astro = z
- arco entre el polo y el astro = 90 -
- ángulo con vértice en el Zenit = A (en el hemisferio norte) o A - 180 (en el hemisferio sur)
- ángulo con vértice en el polo = H
- ángulo con vértice en la estrella

El triángulo de posición es usado para determinar las coordenadas del astro cuando se conoce la posición geográfica del lugar, o para determinar las coordenadas geográficas del lugar cuando se conocen las coordenadas del astro. También permite realizar las transformaciones de un sistema de coordenadas a otro.

Relaciones entre distancia zenital (z), azimut (A), ángulo horario (H), y declinación (d):

Por la fórmula de los cosenos, podemos deducir dos relaciones entre los sistemas de coordenadas:

y

de donde deducimos también que:

Por ejemplo, se puede deducir que para una estrella de declinación d, en un lugar de latitud f, el ángulo horario a su puesta (ocaso) es:

o
o sea:

Con esta fórmula podemos calcular por ejemplo cuánto tiempo está el Sol encima del horizonte, 2H. Para latitudes en el hemisferio Sur, si la declinación del Sol fuera negativa (entre el 23 de Setiembre y el 21 Marzo, aproximadamente), entonces H estará entre 6 h y 12 h y por tanto el Sol estará encima del horizonte más que 12 h. Específicamente, en Porto Alegre, el Sol estará encima del horizonte aproximadamente 14 h 10 min el 21 de Diciembre, y 10 h 10 min el 21 de Junio.

El azimut del astro en el ocaso también puede ser deducido de la figura:

Efecto de la precesión de los equinoccios en la ascención recta y la declinación:

Sea la oblicuidad de la eclíptica, y sea la variación de la longitud eclíptica de una estrella, por la variación de g a , debido a la precesión del polo, y de P a :

Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

fatima@if.ufrgs.br
Modificada el 25 de Noviembre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy