Problema de los dos cuerpos

Leyes de Kepler Generalizadas

La ley de la gravitación universal deducida por Newton, que relaciona la fuerza entre dos masas M y m separadas por tex2html_wrap_inline202, está dada por:
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Ecuación de movimiento:

De esta ley se pueden deducir las leyes de Kepler. Aplicando la ley de la gravitación y la segunda ley del movimiento (tex2html_wrap_inline206), tenemos:

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y por la ley de acción y reacción,

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de donde
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tex2html_wrap_inline214tex2html_wrap_inline216 son los vectores posición de m y M con relación a un sistema inercial.

Estas ecuaciones pueden ser escritas como:

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Sustrayendo estas dos ecuaciones:

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Definiendo tex2html_wrap_inline224, podemos escribir:

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Esta es la ecuación diferencial vectorial del movimiento relativo de los cuerpos de masas m y M. La solución de esta ecuación nos da la órbita relativa de los cuerpos (planeta, cometa, satélite). En principio la solución nos muestra cómo varía el radio vector con el tiempo, pero no podemos escribir una solución utilizando funciones familiares directamente. Como esta es una ecuación diferencial vectorial de segundo orden, esto es, involucra derivadas segundas de vectores, necesitamos 6 constantes para obtener la solución. Por ejemplo, si conociéramos la posición tridimensional y la velocidad de un planeta en un instante dado, podremos calcular su posición y velocidad en cualquier otro instante.

Nuestra solución, más general, involucra demostrar cantidades físicas, como la conservación de la energía y del momento angular.
 


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Volta Introducción a la Astronomía y la Astrofísica

kepler@if.ufrgs.br

Modificada el 27 de Octubre de 1997
Traducción al castellano: oscar@fisica.edu.uy