teniendo en cuenta que:
El término de la derecha de (4) puede ser escrito como:
Como
entonces:
Como
entonces:
El término izquierdo de la ecuación (4) puede ser escrito
como:
ya que:
y como
es constante,
.
La ecuación (4) puede por tanto ser escrita como:
o sea, integrando sobre t:
donde
es un vector constante.
Como
es perpendicular al plano de la órbita,
está en el plano de la órbita, junto con
,
de modo que
también. En realidad,
está en la dirección del pericentro, como veremos a continuación.
Hasta ahora encontramos 2 vectores constantes,
y
,
y un escalar constante, E, de modo que ya tenemos 7 integrales. Sin embargo,
no son todas independientes. Por ejemplo, como
está en el plano de la órbita, y
en un plano perpendicular a éste,
Multiplicando escalarmente por ,
tenemos:
Como
donde
es el ángulo entre
y
,
y
,
tenemos:
o sea
y finalmente:
que es la ecuación de la trayectoria. Esta es la ecuación
de una cónica con foco en el origen. Solamente para
el movimiento es finito, y la órbita es una elipse.
Note que r es mínimo cuando ,
esto es, en la dirección de
,
probando que
apunta en la dirección del pericentro.
Recordando que ,
y comparando con la ecuación de la elipse (vea el apéndice),
vemos que la ecuación de la trayectoria describe una elipse con:
y
p es llamado semi-lactus rectum, e es la excentricidad
de la elipse, y
es el ángulo entre el punto de la elipse más próximo
al foco (pericentro) y el vector posición
.
De la ecuación que introdujo
tenemos:
Como
es perpendicular a
,
de modo que:
Pero
y como ,
Como ,
,
luego:
o sea:
De esta forma queda probado que la excentricidad depende de la energía del sistema.
Esta es la demostración de que la órbita, cuando es cerrada, es elíptica, como dice la primera ley de Kepler.
Si ,
el movimiento es infinito, esto es, no se repite. Si e=1 el cuerpo
se mueve en una parábola, y si e > 1 en una hipérbola,
que no es el caso de los planetas, pero a veces de los cometas y asteroides.
Introducción
a la Astronomía y la Astrofísica