Problema de dois corpos

Leis de Kepler Generalizadas

A lei da gravitação universal, que relaciona a força entre duas massas M e m, separadas por , derivada por Newton é dada por:

Equação do movimento:

Desta lei se pode derivar as leis de Kepler. Aplicando-se a lei da gravitação e a segunda lei do movimento
(), temos:

e pela lei da ação e reação,

onde

e e são os vetores posição de m e M com relação a um sistema inercial.

Estas equações podem ser escritas como:



Subtraindo-se estas duas equações:

Definindo-se , podemos escrever:

Esta é a equação diferencial vetorial do movimento relativo dos corpos de massa m e M. A solução desta equação nos dá a órbita relativa dos corpos (planeta, cometa, satélite). Em princípio a solução nos dá como o raio vetor varia com o tempo, mas não podemos escrever uma solução envolvendo funções familiares diretamente. Como esta equação é diferencial vetorial de segunda ordem, isto é, envolve segunda derivativa de vetores, precisamos de 6 constantes para obter a solução. Por exemplo, se soubermos a posição tridimensional e a velocidade de um planeta, poderemos calcular sua posição e velocidade em qualquer outro tempo.

Nossa solução, mais geral, envolve demonstrar quantidades físicas, como a conservação da energia e do momento angular.

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Introdução à Astronomia e à Astrofísica